中学数学教育教学

中学数学重大错误：将N的1/亿亿误为N
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
一、会背书得高分者不一定真懂集合论
如水分子的集合必占宇宙的一定空间一样，任何非空数集必占数宇宙的一定空间。集D所占有的数空间称为D空间，其容纳不下比集D多元素的集。
研究2无穷集是否分别包含同样多（个）元素是集合论的最核心的实质内容。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素，称D与C等容（两集容量相等）。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个C所没有的数a。
在实行一夫一妻制的国家，有多少个丈夫就有多少个妻子。同样，无穷集C～J=C的原因是C的各元x都只有一个对应数x=y且所有对应数组成的集是J=C。显然若C的各元x都有2个对应数x、x+1且所有对应数组成H，则H的容量2倍于C的容量；…。康脱就断定无理数比自然数多；…。
不知以上集论最核心的实质内容者还根本不懂集论。
二、推翻百年集论的真扩集定理
真扩集定理：任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。
证：G～G。给G增添一个与G没有共同元的非空集H得G的真扩集K＝H∪G就极显然不～G了：K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应成双配对，而另一部分H的各元就都与此配对无关，表明K至少比G多出了一个元素。证毕。
关键是G的各数均有与己相同的对应数∈G，若G内有数再与H的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。
三、40字揭示中学重大错误：将沧海一粟误为沧海——“一对一”与“一对多”的重大区别使…
以下数集的各数都可排为所示的数列且都∈正整数集N。
A：1，4，7，…，3n-2，…（A的元素可排为一数列）
B：2，5，8，…，3n-1，…
C：3，6，9，…，3n，…（C的各元3n的对应数n的全体组成集D）
——————————————————————————————
C～D：1，2，3，…，n，…
显然A～B～C～D。问题是由3部分组成的N=A∪B∪C～A吗？N=D吗？真扩集定理断定A不可～它的真扩集N。
4个数列显示D的各元n都有3个对应数3n、3n-1、3n-2且所有对应数组成的集是N——42个字符充分证明了N的容量3倍于D的容量，即N的元比D的元多二倍，D只占N的1/3是N的1/3部分。
函数列3n，3n-1，3n-2的相应函数列是kn，kn-1，kn-2，…，kn-（k-1）（k=100…0）（k=3时就是前函数列）。将横线上的数列中的3n变换为相应的kn （k=100…0是亿亿倍于1的自然数），3n-1变换为kn-1，…，3n-2变换为kn-（k-1），则N就是k个各无共同元素且容量相等的部分的并。相应的有D的各元n都有k个对应数kn、kn-1、kn-2、…、kn-（k-1）且所有对应数组成的集是N——充分证明了N的容量k倍于D的容量，即N的元比D的元多k-1倍，D只占N的1/k是N的沧海一粟。
故N＝D∪（N－D）= D∪F是D的真扩集，F的各元n都是>无穷集D的一切n的D外无穷大自然数n。
中学数学的重大错误：将N的1/亿亿部分元素组成的D误为N，从而使康脱推出“数学可不受最起码语文、科学常识：部分<全部的束缚”的“革命发现”。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
数学家们在初中阶段就受到了使其受害终生的误导教育啊！错误不可怕，可怕的是不承认、更不纠正错误。
四、证明无穷集D有最大元素
数学常识：“集J的任何数x”中的x可取J的任何（所有）数，即J的所有数都由此x代表。反复强调：若代数式y>x中的x代表J的任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y>J的任何正数。
“无穷集J=（1，2）的任何元x<1.1x=y”明确表达有J外数y>J的任何（所有）元x（式中x可一个不漏地遍取J的一切数使代表数的y>x必可一个不漏地遍比J的所有x都大）；同样，①“D的任何元n<n+1∈N”一目了然地表达N中有数n+1>D的任何（所有）元n。②“任意一个”是全称量词，对D的任意一个n都有n+1>n就是对D的所有n都有n+1>n（D的所有数都由此n代表）。这不就是说有D外数n+1>D的一切n吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。
因为①②中的n都∈D，故D外n+1中的n∈D显然就是D的最大数——其后继n+1不∈D。
关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。
无穷集U =[a, b]内也有该集的最小、大数。变域为U的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。
关键：对人而言U内数多得取之不尽，人不能遍取U内一切数，但变域为U的变量却能取尽U内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。
正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段L（否则L就不能还原为原来的闭折线了）。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。显然当a的面积j>>1时相应的周长c′>>c>M。
以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。
不能定量描述无穷集包含多少个元素是数学的重大缺陷。
五、数学中，暗含的用而不知的“骨干”数远远多于已知数
在N内取值的n→∞的含义是：n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。这类数n>M显然是“更无理”数。
“本文揭示数学中，用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…
“说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［１］。”
“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，n，…，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[2]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。
六、推翻自然数公理：N的任何元n<2n∈N——病句不除，祸害无穷
自然数公理断定：数学内的所有正自然数组成的N的各元n均有同属N的对应数2n>n（N的所有数都由此n代表）即：N的任何元n<2n∈N。其实这是使康脱脱离健康误入歧途的重大病句：N内有数２n>N的所有数n。病句不除，祸害无穷。初3问题：
在N内取值的y=2n>n= 1，2，3，…
中的自变量n能遍取N的一切数吗？此式表达式中数列的各数n都有对应数2n，同时也一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以关系式限制式中数列不可包含N的一切数！即y=2n 的定义域≠N！即并非N的任何数都能由2n∈N 中的n代表。中学数学断定y=2n及 y=100…0n>>n= 1，2，3，…的定义域都＝N是使康脱误入歧途的上述重大病句。
变域是变量所有能取的数组成的集合。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。
详论见获中国教育学会一等奖的文献［3］。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参 考 文 献
[１]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学，科技信息[J]，2008（2）:４６.
[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。
[3]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[4]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[5]黄小宁，y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。
电联:020-88506843(下午) E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）

稍有一点头脑的人也一教就明的百年重大错误
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
研究2无穷集是否分别包含同样多（个）元素是集合论的最核心的实质内容。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个C所没有的数a。
P＝｛0，1，2｝
Q =｛0，1，2｝∪｛3｝由两部分组成，显然其第2部分｛3｝有多少个元，Q就比P～P多多少个元。关键是对上、下两集作比较，立刻就能…。同样——
奇数集A：1，3，5，…，2n-1，... （A的元素可排为一数列）
偶数集B：2，4，6，…，2n，... （ B的各元２n的对应数n的全体组成集合C）
B～C：1，2，3，…，n，…
显然A～B～C。问题是N=A∪B ～A吗？N=A∪B = C吗？
A＝｛1，3，5，…，2n-1，…｝
N=A∪B＝｛1，3，5，…，2n-1，…｝∪｛2，4，6，…，2n，…｝，显然N的第2部分B有多少个元，N就比A～A多多少个元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
关键是上A的各数2n-1都有对应数2n-1∈下A——N的第1部分，若上A内有数再与N的第2部分B的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。
同样B～A也根本不可～N！
B～C＝｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝（C的第2部分是空集）
在N=B∪A＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝中，第2部分A有多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。
故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。
所以中学数学断定C=N，是将N的一部分误为N从而使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
所以被誉为“人类的最伟大的创造之一”（胡作玄，引起纷争的金苹果，福建教育出版社，1993.12：27）的康脱集论其实是脱离健康的极荒唐病态理论。这是数学的致命病毒。将此核心错误奉为数学引以为豪的基础，使其占统治地位百年之久，必使人滚雪球似地“滚”出越来越大、无穷变大的一连串更重大的错误。这使美国著名数学史家M•克莱因清醒地意识到：“这个世纪以来，数学从科学中的分离不断加速，[１]”百年康脱集论使数学急速脱离健康发展轨道地远离科学。致命病毒的入侵使数学有违反科学常识的理论啊！真正的数学必然是科学。
可见，被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
详论见获中国教育学会一等奖的文献［２］。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
［１］M•克莱因著、李宏魁译 数学：确定性的丧失，长沙市：湖南科技出版社，1999.4:311
[２]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[３]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
［４］黄小宁 再论发现最小、大正数彻底推翻康托无穷集论破解2500年芝诺世界难题（上），见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷，北京：中国农业科技出版社：2002.6:21。
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附录
：无为而为(chenqi1231)[文笔通顺]2008-02-16 19:58:26
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尊敬的黄小宁先生：
阅读了您的文章，虽然很失遗憾，但依然敬佩您探求真理，敢于创新的勇气。只是如果这种勇气能够加上更多的审慎和理智，则更加宝贵。
我阅读了您的其中一些文章，并对其中几篇进行了精读。里面的错误类似，都是由于缺乏牛顿、莱布尼茨微积分理论中的极限思想导致的。由于时间有限，我只针对其中一篇指出错误。在《起码数学常识凸显中学数学有五千年重大错误》一文中，您自称用39字推翻了康托的百年集论，并证明了最大自然数的存在性。
在推翻百年集论的论证中，您先举了一个有限集的例子，然后再想将其推广到自然数集。事实上，这种推广是不严密的。在做出这种推广之前，您首先要回答一个问题：自然数集是一个有限集还是无限集。
如果自然数集是有限集，则这种推广可行，只是在论证时还必须用更严格的数学语言，而不是像您这样文学语言。但这就带来了一个问题。因为您后面用推翻百年集论后得出的h定理（黄小宁定理），来论证最大自然数的存在性，这就犯了一个循环论证的错误。因为其实您在证明这个命题之前已经默认它正确了。如果自然数集是有限集，其中每一个元素各不相同，且能比较大小，则肯定有最大的一个元素。
如果自然数集是无限集，则您的这种推广不可行。由于无限集的特殊性，有限集的一些结论不能在其上套用。对于集合P={1，2，3，…}和Q={0，1，2，…}，我们可以像您那样作P到Q的映射1->1，2->2，…，n->n，…，这样，P到Q的映射就不是一个双射，因为像集中还有一个0，但我们也可以作映射1->0，2->1，…，n->n-1，…，这是一个双射。所以自然数集和其无限子集是对等的。同时如果自然数集是无限集，则最大自然必然不存在。
所以，不管您事先回答自然数集是有限集还是无限集，您的证明都是错误的。但是您必须回答这个问题，因为这是一个二元问题，一个集合要么是有限集，要么是无限集，不会出现第三种情况。
那么，自然数集到底是有限集还是无限集呢？事实上，自然界存在着这么无穷的多个数1、2、3、……，我们的先人将之命名为自然数（后来，到我上中学时，据说有一位领导说为了要和国际接轨，把0也归入自然数集，而事实上，当时只有法国和曾经被法国殖民的一些非洲国家把0当作自然数，这是题外话）。我们当然也可以命名一些数，叫黄小宁数，这些数组成一个有限集，然后我们研究这些数的运算法则。然而这个工作已经被18世纪法国的天才数学家伽罗华做了。其中对于集合{0，1}，如果我们规定算法则0+0=0， 0+1=1，1+0=1，1+1=1，0x0=0，0x1=1，1x0=0，1x1=1，则可以得到一个加法和乘法封闭的集合，这个集合在计算机、通信等领域有广泛的运用。有关伽罗华群论的更多知识可以阅读《近世代数》方面的书籍。
至此，我已将您在这篇文章中的错误阐述得很清晰。但是，您的错误是值得我们思考的。其实，一开始我就在网易社区的论坛里发现您的文章有问题。但是，一是由于时间有限，第二也是水平有限，因为我毕竟不是数学专业的，不能一下子看出问题的关键所在。所以我抱着审慎的态度，在寒假里，仔细阅读您的文章。之所以如此审慎，是因为我知道，在历史上，人类追求真理的过程是坎坷。最为经典的两个例子是非欧几何（黎曼几何、罗巴切夫斯基几何）与狭义相对论。这两个理论在诞生时没有得到人们的承认，原因是其与人们的常理看似相悖。但是，最终，真金不怕火炼，这两个理论得到了世人的承认，并对人类社会产生了巨大的影响。值得我们注意的是，这两个理论并没有否认其先前的理论。其中，非欧几何和欧几里得几何，是从不同的逻辑起点推出各自完整严密的逻辑体系；而狭义相对论则把牛顿的经典力学涵盖了进去，将之作为其理论的一种特殊情况。而事实上，欧几里德几何和牛顿经典力学，在日常生活中是经过严格检验的，并解释了很多现象，解决了一系列问题。我之所以要强调这一点，是想假设这样一种，如果黄小宁先生所推出h定理等理论真的是正确的，那么是否要宣称其先前的理论是重大错误呢？特别是，与黄先生相对的理论从本质上来说是牛顿和莱布尼茨的微积分，如果微积分是错误，那么由微积分所推演出的物理学、计算机理论、通信理论、微观经济学等一系列理论是否都是错误的呢？那么，人类近五百年是否一直生活在谬误中？那么小到生活中使用的收音机、电视机、手机、互联网，大到宇宙飞船、人造卫星、核电站，这些东西都是否从谬误中诞生？
我不知道这些问题，黄先生是否想过。其实这只是一个在探求真理的人的最基本科学素养。追求真理是一件神圣的、高尚的事情。也正因为如此，我们必须格外的审慎，否则，我们会走到真理的另一端——谬误。
另外还要给黄先生一个建议。从您写文章的格式来看，有摘要、关键字、正文、参考文献（虽然所参考的都是您本人的文章），完全符合一篇学术论文的格式。但是，在行文中，您的语言更像是在写时评，缺少数学论文应有的简洁美。太多的同义反复实际上降低了文章的可读性，从某种意义上说是对读者的一种不负责。而一些模糊的类比更不应该出现在数学这样严谨领域（当然如果写给不懂数学的人作为科普读物可以这样写，但是，我想您的目的应该不是这样，而是写给数学专家看，从而获得业界的认可）。因此，我的建议是希望黄先生以后再阅读数学书籍时在获取知识的同时参照他人的写作方法。
末了，我想说的是，追求真理是快乐的，承认错误是痛苦的，但只有承认错误后，才能更好地追求真理。否则会堕入谬误的深渊。创新是需要的，但我们必须站在巨人的肩膀上，只有这样我们才能站得更高。否定是需要，但必须经过科学审慎的思考，严密的推理，必须怀着对前人理论体系的敬畏态度。 陈琦
2008-2-16于思源湖畔本人系上海交通大学通信与信息系统专业硕士研究生

19字推翻“实数与数轴的点一一对应”、“R完备”定理
———几百年“数轴无最小正数点”是重大错误
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱邮编510631
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一、数学启蒙知识
初中常识：y<x中的x可取何数，y就可<何数，y显然可<一切能由式中x取的数，即y必可取x的变域之外的数，一切能由此x取的数组成的无穷集D是x的变域。代数就是用字母代表数。变量x所取各数也均由x代表，D内各元都有一个共同的“名字”叫x 。最显然：若对于D的任何元x都有y<x，则此y必可< D的任何（所有）x。关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。
代数常识：不论y能代表几个数，只要其可一个不漏地遍比R+的所有数x都小，则其必可代表R+外的数y<R+的一切数x，与y是否只能代表一个数没有任何关系。
二、19字推翻“实数与数轴的点一一对应”、“R完备”定理
书上x轴的所有正实数组成的集合记为R+ 。
S式：R+ 的任何元x>y=f（x）＝x/k>0——此19字符表达式中R+ 的各元x都有对应正数y=f（x）=x/k<x，同时也一目了然地直接表达有数0<R+的所有（任何）元x，以及有正数y< R+ 的任何（所有）元x——这就推翻了：“实数与数轴上的点一一对应”定（公）理以及断定R含所有实数的百年“R完备”定理。
关键是式中x可一个不漏地遍取R+的一切数使0与代表正数的y都必可一个不漏地遍比R+的所有x都小而成为（代表）R+外的数，即y必可代表R+外的正数。这石破天惊地表明R+外还有比无理数“更无理”的更无理正数！要害是“变（定）量y”中的y都代表数！对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识。
关键是“对于R+的一切数x都有对应正数y比其小。”显含此意：有用而不知的R+外正数y<R+的一切数x。当然，缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的。“对于实数轴的一切正数x都有对应正数y比其小。”明确表示有轴外正数y<轴的一切正数x。
故中学数学断定y的值域=R+且包含一切正数，是搞错变量的变域的重大错误。
起码数学常识：S式中的自变量x可由小到大、一个不漏地遍取R+的一切数x，使代表数的y必可一个不漏地遍比R+的一切数x都小，从而代表R+外正数y<R+的一切数x，即有正数y <R+的一切数x！否定此常识者暴露出其是数盲（学数学最关键的是须明白代数式所代表的全部内容，否则就是鹦鹉学舌，从而成为数学王国里的睁眼瞎。）。
反复强调：若代数式0<y<x中的x代表R+的任何正数即R+的一切数都由此x代表，则此式所代表的内容之一：有0及正数y<R+ 的任何（所有）正数x。否定此事实者是因其不知代数式中的变量就是至少能代表2个数的字母，正如不识字者不知“你犯错误了”表示你犯错误了一样。关键是只能代表1个数的y“是数”，不仅能代表1个数的变量y更“是数”！y<x中的x代表了一切可由其代表的数，y代表比x小的数。
三、39字推翻百年集论——凡无穷集都不能与其任何真子集对等
任何至少有两元素的集A都可是其两不相交非空部分的并。设E是A的任一非空部分，A-E=V，则A=E∪V，E与V不相交。E～E，给E增添一个集V得E的真扩集A=E∪V就显然不～E了：
H定理：A=E∪V不能～E。故凡～A的集要么=A，要么≠A，都不是A的真子集。
证明：P＝｛0，1，2｝与Q=P∪｛3｝的一部分P对等，就不可与Q对等了。同样，原E各元与A的一部分E各元一一配对了，哪还来多余的数与A另一部分V各元相配对？——这里39个字符数就推翻了百年集论！
关键是A的任何一部分E的各数均有与己相同的对应数，若E内有数再与V内数相对应，那就是重复对应了。
四、50字推翻“实数与数轴的点一一对应”、“R完备”定理以及几百年“数轴无最小正数点”
设[0…1]=D表示x轴的0与1之间的所有数加上0与1组成的数（点）集。
由0≤x≤1得 0≤x/k＝y≤１/k<１（k是>1的定量）。
DÌx轴的各元x都有对应正数y=f（x）=x/k<x与x成双配对；所有对应数y组成的集Z～D：D内有多少个x，Z内也有多少个y。V=［0...１/k］Ìx轴内形如x/k<x∈D的正数x/k＝y的全体组成了Z＝［0...１/k］x/k）。问题是V＝Z吗？
据H定理Z不是D的一部分，这表明Z内至少有一 y=x/k不∈D，这显然是R+外的数y<R+的一切数——此段不够50字符推翻了：“实数与数轴上的点一一对应”定（公）理以及断定R含所有实数的百年“R完备”定理。注意到各x都∈R+，故其中的x显然就是R+的最小数——比其小的对应正数y=x/k是R+外数。所以解析几何有史几百年来的“R+内无最小正数点”是重大错误。故断定Z＝［0...１/k］是搞错变量的变域的重大错误。
没能及时发现以上重大的核心错误必使人滚雪球似地推出错上加错的一系列更重大错误，不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
[1]黄小宁 50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息，2007年第36期。
[２]黄小宁 极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报•教研版［N］，2002.11.22，4版。
[３]黄小宁 数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11:994。
[４][５]黄小宁 极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，同[３]，2003.9：367—369。
[６]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
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39字推翻百年集论
——凡无穷集都不能与其任何真子集对等
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
一、G的真扩集K＝｛a｝∪G必显示K比G多一个元素a
两无穷数集A与B=A∪｛a｝≠A是否分别包含同样多（个）元素？规定一个数只能“拉”一个数，A的各数x均将B内与己相同的数y=x“拉”出来，于是B的一部分A的元素全都给“拉”出来后，A内就再也无数将a“拉”出来了。为什么？原因一目了然：B比A多包含了一个元素a。总之，若A的所有元x与B的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明B至少比A多含一个元素。康脱就断定无理数比自然数多；…。
两集不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。
任何可有真扩集的集G～G。给G增添一个元素a得G的真扩集K＝｛a｝∪G就极显然不～G了：K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应成双配对“结婚”，而另一部分：一个数a就“单身”，表明K比G多出了一个元素。所以应有集合常识：
①任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。
②G的真扩集K＝｛a｝∪G必显示K比G多一个元素a；显然任何～G的集都比K少一个元素。
二、39字推翻百年集论——凡无穷集都不能与其任何真子集对等
任何至少有两元素的集A都可是其两不相交非空部分的并。设E是A的任一非空部分，A-E=V也非空，则
　　 A=E∪V，即A是E的真扩集，E与V不相交。
据①②,A不能～E。由于事关极重大，现再作一证明：
P＝｛0，1，2｝与Q=P∪｛3｝的一部分P对等，就不可与Q对等了。同样，原E各元与A的一部分E各元一一配对了，哪还来多余的数与A另一部分V各元相配对？——这里39个字符数就推翻了百年集论！
一眼看出V包含多少（个）元，A就比E多多少（个）元。故由上一眼看出有：
H定理：任何无穷集J的全部元素必多于其任何一部分的元素。于是凡～J的真子集的集绝不可～J。
这就推翻了一系列的“定理2 在可数无限集中增加或减少有限个元素，还是可数无限集。…。定理3 两个可数无限集的并集是可数无限集。…。推论 如果A是无限集，B是可数集，那么A∪B～A。…。定理4 …” （田开璞《现代科学数系论》12-13页）例如书上的自然数集N不～它的真扩集｛０.１｝∪N。
可见，数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
说明：本文实际上是《50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数》（科技信息，2007年第36期）的一小部分。
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从西方传进来的数学显然存在重大自相矛盾
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
为追求分数文凭（而非文化、真理）而学的应试教育使不少人对从西方传进来的数学只敢全盘接受而不敢思考质疑：管它什么真理、歪理，一切以书本为准混到分数文凭才是硬道理。
这使不少人高分低能，成为韩寒说的： “没有文化只有文凭的庸人。”
是培养应试高手还是培养敢于独立思考不迷信盲从权威定论的高素质人才？这是关系到国家前途命运的重大问题。不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。
“定理3.9 在直线上任意两点中间，存在着无穷多个点[1]。”
如图：0 x≥0，数学断定沿x轴运动的点x≥0能由x=1处运动至原点x=0处，但又有数学定理断定此x在由1→0的过程中始终与0相隔无穷多个点——即断定x≥0在由1→0的过程中总与0相隔无穷多个正数点地“隔数相望”——从而更谈不上能到达0处。这显然前后自相矛盾！
只有完全丧失了正常思维能力的人才否认此尖锐矛盾的客观存在性啊！
“‘假传万卷书，真传一句话’：沿线运动的不断靠近的两点之间的距离ρ≥0不取完变域U内的一切正数就绝对不能取0。不纠正几千年重大错误：U内无最小正数，就不能破解2500年芝诺著名运动难题。不能真正用数表达运动的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段[2]。”
数轴是连续的，沿数轴运动的动点从原点出发离开原点，必首先与原点相隔有穷多个点，然后才能与其相隔无穷多个点，有数学定理断定x轴的任何正数点位置都与原点相隔无穷多个点∈x轴，这显然是自相矛盾的。而且自然界中既有飞跃性的突变，更有“冰冻三尺非一日之寒”的渐变。“x轴的任何已知正数点都与原点相隔无穷多个点∈x轴”才是正确的。
狄利克雷：a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值。（李晓奇《先驱者的足迹——高等数学的形成》90页）而数学断定a和b之间有无穷多个数。变域是变量所有能取的数组成的数集。故凡变量必能有序地遍取其变域内的一切数。不明此理者，对变量的认识还未入门。
设空箩筐K装进了D=[0, 1]的一切数，能将D的所有数全部取出的由大到小取值的x必使K内数不断变少，最后变为空无一数（x取0后）。凡违反此最最起码科学常识的理论必是重大错误。“不能将D内数取完”本身就表示取数的变量的变域绝非D。
由大到小取值的x≥0必取尽变域H内的一切正数后才能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的某x必取0之后才能取负数一样。
稍有一点头脑的人都知道若由大到小取值的x每取一正数x都必有下一个正数x/2要取，即其取正数的过程没完没了，则其绝不可取0。说由大到小取值且变域为D的x 每取出K内一正数x必使K内至少还剩有无穷多个正数x / n（n =2，3，4，…），次次如此，即说其取数的整个过程中K内始终都保持有无穷多个数，更谈不上能变空。这显然就是断定此变量远远不可将K内数全部取出，从而更不能取0，即说x的变域绝非D——这显然前后自相矛盾！
不断变短的线段0 x≥0使其长度ρ是由大到小取值的变量。这表明客观存有由大到小取值且变域为闭区间等的变量！人类不能用数精确表达变量的这一变化规律恰恰表明人对数的认识有极重大缺陷。
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
[1] 朱梧槚等，数学基础概论[M]，南京：南京大学出版社，1996.5：18。
[2]黄小宁 “最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康——再三论证“无最小正数”是几千年重大错误，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[3]黄小宁 数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。
[4][5]黄小宁 “任何正数x=2•x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。
[6]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[7]黄小宁 再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[8]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
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中学数学重大错误：100…0x可取一切正数

黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631

小学生都明白凡可表为亿亿个正数x的和的数100…0x相比下全都是“天文数字”。凡可亿亿倍于其子部的直线段相比下全都是极长线段，其所对应的正数相比下全是极大正数，其两端点相比下均相距极远。凡违反此起码数学常识的“理论”必是重大错误。

最起码数学常识：若数集Z内一个不漏的每一数y = 100…0x>>x>0分别亿亿倍于别的正数x，从而相比下全都是>>0的极大正数，则Z远不可包含全部正数！凡违反此起码数学、逻辑学常识的“理论”必是重大错误。

“变数y=f(x)”是说y的定义域D的各元x均有对应数y(x)，表明变量x所取各数也均由x代表（上、下文联系来看就知：此x是变量，彼x是定量。），D内各元都有一个共同的“名字”叫x。所以x不但是变量，同时也代表D内任一定量，故其具有既是变量同时也是定量的两重性。张3、李4、王5、…都是人；x=1、x=2、x=3、…中的数都是x。

凡变量必有变域,代表变数的字母必代表其变域内的任何一个数。

变域是变量所有能取的数组成的集合。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

y = 100…0x>0的变域Z内一个不漏的每一数y = 100…0x>>x>0分别亿亿倍于别的正数x，相比下全是极大正数，虽然正实变量y可→0。由此可知必有Z外的正数<<Z的每一（所有）数y = 100…0x。否定此理者缺乏起码逻辑推理能力。

可见：Z远不可包含全部正数！中学数学断定y可一个不漏地遍取一切正数是搞错了变量变域的重大错误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误，不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。

因为Z由一切形如y=100…0(y/100…0)= 100…0x的正数组成，所以Z外的正数y必≠100…0(y/100…0)而无对应数y/100…0！详论见[1]。

参考文献

[1]黄小宁 凭傻瓜数学获重大发现：有正数x≠100…0（x/100…0）[J]，科学咨询，2007年8月第4期。

[2]黄小宁 初中生也能一点就明的极重大历史性错误：任何正数y=10000（y/10000）=10000x，见：当代中青年教师教育文集（下）[C]，北京：中国文联出版社，2001.12：91。

[3]黄小宁　教科书上对变量变域的判定有隐瞒不了的极重大错误，见：中国学校教育研究•数学卷［C］，北京：中国统计出版社，2001.12：97。

[4]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。

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初稿完成于2007-11-25

　　太浅显语文常识暴露太重大错误：任何正数y=k（y/k）



　　黄小宁



　　通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱邮编510631



　　是培养应试高手还是培养敢于独立思考不迷信盲从权威定论的高素质人才？这是关系到国家前途命运的重大问题。天才少年韩寒猛烈批评语文教育。其实，从西方传进来的数学教育更须作深刻的反思！错误的教育会把人教成为指金为粪的极无知者。



　　y=f(x)是说x的变域D的各元x均有对应数y=f(x)。这所有的定量y组成的集合Z就是f(x)的值域。D的各元x均由x变换为y=f(x)就形成以y为元素的新的数集Z。



　　大小极悬殊的2个正数x与kx，大的与小的相比是距0极远的极大正数。



　　设（0，b）=V包含了数学所需用的一切小正数。将V各元x一个不漏地均由x扩大为100…0x=y，组成新的正数集U，这U显然不能与V一样一个不漏地包含数学所需用的一切小正数。不能头脑简单地断定U=（0，100…0b）。道理很简单：一切小正数一个不漏地全都扩大许多倍组成的数集（其各元相比下均距0极远）再也不能一个不漏地包含一切小正数了。“无最小元素”的无穷集V的各元x均由x扩大为x+0.1所形成的新的无穷集不能包含原无穷集的全部元素。



　　一军事集团各组成成员全都发生同一性质的重大改变（例如全都负重伤），变化前后的集团显然有重大不同。无穷集（1，2）或（1，∞）的各元全都发生重大改变：由x变换为亿亿倍于x的100...0x（以下常记为kx），变化前后的集显然是2个根本不同的集。



　　总之，一正数集各元全都变大许多倍后形成的新的数集绝对不能还是原数集了。否则，何来一个不漏地“全都变大”？凡违反语文常识的理论必是自相矛盾的重大错误。如[1]所述，林群院士精辟指出：“数学归根结底也在常识之内。”凡违反真正常识的学说绝非真正意义上的数学，而是极重大数学错误。



　　几何常识：数轴上一个不漏的各个正数点y=x全都离开原来位置地向前移动至y=kx>>x处，必使y轴上有正数位置y=x在一切前移了的正数点的后面，即在一切形如y=100...0x的正数点的后面：



　　y=x<<一切y=100...0x（相比下均距0极远的）>0.



　　设数学内的全部正数组成D，从西方引进来的数学断定定义域为D的y=kx>0的值域Z=D，理由是几千年公理：任何正数y都可表为y=k（y/k）=kx。如[2]等文献指出，这是初中生也能一点就明的极重大历史性错误。注！若D的各元x均有对应数kx∈Z，则Z内必有元素不能是数学内的数，但限于篇幅本文不谈。



　　D的各元x一个不漏地均由x扩大为100…0x=y所形成的新的正数集Z绝对不能还是原数集D了。哪能有组成正数集的各元x全都发生同一性质的重大变动，而数集却岿然不动的道理呢？！



　　正数x变大100…0倍后与原来相比是极大正数，一正数集内各数相比下全都是>>0的距0极远的极大正数，能说其包含一切正数？Z内各数y=100…0x>>x>0相比下全都是亿亿倍于x的>>0的极大正数，表明Z外必有太小正数<<Z的所有y，因为有极大必有极小——这是逻辑学常识。有傻瓜相机，也有傻瓜常识啊!!!



　　可见并非任何正数y=k（y/k）=kx，而是任何已知正数y=…。这意味有未知的比无理数更“无理”的更无理正数y≠k（y/k）。



　　所以由可取一切正数的x>0变形而来的100…0x>0的解集远不可包含一切正数。



　　变域是变量所有能取的数组成的集合。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。



　　发现无理数竟给发现者惹来杀身之祸！这表明相比之下获取重大科学发现并不难，难的是将其公之于世以造福人类。太伟大的科学太易遭“科学警察”的扼杀啊！没有伟大的献身精神就绝对没有伟大的科学发现。中华民族的伟大复兴，科研成果是关键。任何一个有良心的中国人都不愿看到历史的悲剧重演！



　　参考文献：



　　[1]黄小宁极浅显常识凸显数学课本有极重大根本错误——林群院士的真知灼见使我获极重大发现，见：中国高校教育研究•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.10:5。



　　[2]黄小宁初中生也能一点就明的极重大历史性错误：任何正数y=10000（y/10000）=10000x，见：当代中青年教师教育文集（下）[C]，北京：中国文联出版社，2001.12：91。



　　[3]黄小宁 y=1010x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。



　　[4]黄小宁y=1010x<1010且>0的值域显然≠（0，1010）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。



　　[5][6]黄小宁极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，北京：人民日报出版社，2003.9：367—369。



　　[7]西方数学的常识性错误显示其有重大缺陷，见：中国高等教育研究论丛•数学•计算机卷[C]，北京：中国社会出版社，2001.6:68。



　　[8]黄小宁极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7



　　[9]黄小宁一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。



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百字推翻百年无穷集论

黄小宁

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搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

若0 ≤ x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的0 ≤ 2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。

y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x。这所有的y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。

若数集A＝B，则两者必对等即A的各元必与B的各元一一对应，这是A＝B的必要条件。

Z的各元y＝2x是由 [0，2]=2D的子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z的生成过程表明其各元不可与2D的各元一一对应而只可与2D的一半元素组成的D的各元一一对应。这说明使Z=2D的必要条件也不能满足，故Z ≠ 2D。注！Z的各元2x中的x都被限制只能在D内，使D外x 的对应数2x不属Z。

所以Z各元与D各元一一对应 ≠ 2D各元与D各元一一对应，数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。

1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出伟大的科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。

参考文献

[1]黄小宁 数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。

[2]黄小宁 y =1010x< 1010且>0的值域显然≠（0，1010）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。

[3][4]黄小宁 “任何正数x=2•x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。

[5]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7

[6]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[7]黄小宁 y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。

[8]黄小宁 “最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.

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数学有史五千年来的最重大革命发现：0≤y≤2不表示y的变域是[0，2]

———再三论证数学书有隐瞒不了的极重大根本错误

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631

搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

若（1）式0 ≤x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的（2）式0 ≤2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。

曲线积分论的理论根据是：充分短的曲线段几乎是直线段。曲线段点集M为何与相应的以切点为公共点的切线段点集N近似相等？因M的各点与N的各点一一对应几乎重合或重合在一起。M可看成是由N的各点都发生位移而成的。一数集各元全都变大后形成的新的数集不能包含原数集的全部元素。否则，何来“全都变大”？例如，无穷集（0，1）的各元x均由x扩大为x+0.1所形成的新的无穷集不能包含原无穷集的全部元素。

若数集A＝B，则两者必对等即A的各元必与B的各元一一对应，这是A＝B的必要条件，其各元显然具独特的性质S：A内由小（大）到大（小）的每一 数x与B内由小（大）到大（小）的每一数y一一对应相等。

增函数y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x。这所有的y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。2x中的x从取1起由大到小地取出一个个数x就派生出从大到小的一个个 2x，组成Z。这是增函数的重要特点T。

Z的各元y＝2x是由 [0，2]=2D的子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z的生成过程表明其各元不可与2D的各元一一对应而只可与D的各元一一对应。这说明使Z=2D的必要条件也不能满足，故Z≠ 2D。注！Z的各元2x中的x都被限制只能在D内。

所以Z各元与D各元一一对应≠ 2D各元与D各元一一对应，数学引以为豪的百年无穷集论是重大的百年之误！

除了自欺欺人者，谁也不否认一目了然的事实C：一由非负数组成的非负数集内各正数x全都变大（小）为kx（正数k>或<1）后形成的新非负数集不能包含原集的全部元素，从而使新集绝≠原集。（0，2）与[0，2]的区别只是，后数集是由前集加多一个元素0而成的。所以一眼看出两集的各正数元x均变大为1.1x后形成的新集都不能包含原集的全部元素。一非负数集A各元x都由x变换为y=f（x）（相应的变量y是增函数）从而形成以y为元素的新的非负数集B，据特点T及性质S显然当且仅当每次变换都＝无变换即总有y=f（x）=x时，才有A＝B。

形如2x的正数都可2倍于别的正数。Z是由形如2x=2（y/2）=y ≤2的非负数的全体组成，而Z只可与D对等，所以形如x=2（x/2）≤2的正数的全体只占2D所有正数的一半。这说明2D的一半正数x都 ≠ 2(x/2)而无对应数x/2，其都不可2倍于任何别的正数！这正如1，2，3，4，5，6，7，…中形如2n（n=1，2，3，…）的数才可2倍于别的自然数，而其余的数都不可2倍于任何别的自然数一样。可见，D中有Z所不具备的数，详论见[5][6]。

然而几千年数学却一直断定Z=2D，断定 “任何正数x =2（x/2）”。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。例如康脱推出“推翻”最起码科学常识：部分<全体的“革命发现”。

有人说应具体情况具体分析地将Z与2D的不对等，正确地理解为对等。即使此典型的思想混乱的“高深”理论获得公认，那也可据上述性质S证明Z≠ 2D。关键是2x是x的增函数。

可见（2）式表示2x可一个不漏地遍取2D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，2]（2x）。

据改写历史的事实C，x≥0的变域与相应的100…0x≥0的变域差别重大根本不相等！

（2）式中的2x＝y 能遍取定义域D内一切数吗？即Z能包含D的一切x吗？这须研究 （3）式

0 ≤2x = y ≤1（x被限制0 ≤x ≤1/2）

是否表示2x的值域Z′= D。Z′的各元y＝2x是由D的子集[0，1/2] 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。故Z′各元不可与D各元一一对应，使Z′= D的必要条件也不具备，故Z′≠ D。2x只能遍取D内一切形如2x的数。

（3）式表示2x可遍取D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，1]（2x）。

据改写历史的事实C，将（2）中的2x变换为kx（k>1）都不能表示kx的变域是[0，k] ，kx只能遍取[0，k]内一切形如kx的数。推论：从西方传进来的数学中，用而不知的深潜“地下”几千年的地下数远远多于已知数。对正数的认识的极惊人浅薄必使人无法认识沿X轴运动的质点是如何由x>0处动至原点处的。不能真正用数表达运动的相关学科还处于与中医等一样的不知其所以然的唯象论阶段。

参考文献

[1]黄小宁 数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。

[2]黄小宁 y =1010x< 1010且>0的值域显然≠（0，1010）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。

[3][4]黄小宁 “任何正数x=2·x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。

[5]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷，中国农业科技出版社，2003.5:7

[6]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[7]黄小宁 y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，（2）：42。

电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007-3-13。更新于2007-3-15。

反馈：

学生在解答分式方程的应用题时，常忽略检验。