中学数学教育教学

极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了

——中学重大错误：将两异集误为同一集

黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

[摘要]极显然：奇数与偶数不一样多的“自然数集”是假自然数集。“有胡子的，不一定是爹。”2，3，...，n+1，...不一定是自然数列N的一部分。自识自然数5千年来一直无人识破此真相就有中学重大错误：搞错了y=n+1等函数的值域而将两异集误为同一集。据可数集定义，“N的所有偶数组成的E～N”是百年重大误解。

[关键词]假自然数集；自然数公理；集合论；可数无限集的定义；推翻

王元、万哲先等译《数学——它的内容，方法和意义（3）》8页：若集合A的元素可以用全体自然数来标记：元1，元2，...，元n，...（所有标记数n组成自然数列1，2，3，...=N——黄小宁注）那么就说A 是可数无限集（记为A～N）。（此书将0排除在N外，本文遵从此约定。）显然若N不够用，或用不完而仅用部分自然数就能将A的各元都配上自然数号码，则A就不～N。以下揭示“各元可排为一无穷序列的集就是可数无限集”是错误的定义。

用一车砖建一围墙，建到还剩一缺口就没有砖了。“拆东墙补西墙”地补上此缺口并不能改变砖不够用的事实。

两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U～N增一元得U+｛a｝=H就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。显然用自然数n标记U～N的各元就无一遗漏地用光一切自然数了，否则U的元与N的元就不一样多了。否认此事实者，反映其连“一一配对”这一常识性概念都还未弄懂。故H中的a已没有自然数为其标记而须用别的数如超自然数来标记，即H是不可数集——其元不可都用自然数来标记，原因是N不够用。“拆东墙补西墙”地重新编号不能改变N不够用的事实。可数集定义及编自然数号码常识表明有

h定理1：可数无限集的任何一部分E都不～N（仅用一部分自然数就能将E的各元都配上自然数号码）。

例如将N的偶数都编上自然数号码：2=2号数，…，2n=2n号数，极显然：N的奇数都没有用到。故据可数集定义，“N的所有偶数组成的E～N”是百年重大误解。

故如[1][2]所述若N的一切n都有对应2n>n则并非所有的2n都∈N而必有部分2n是超自然数>N的一切n。故定义域为N的y=2n>n的值域Z～N不是N的真子集，中学数学误以为NÉZ是搞错y的变域的重大错误。

h定理2：C+D（C～N）必不～N（N不够用）。

“大道至简至易。”有数学家说:数学也可看图识“字”。U～N的1号元可形象化为①，小圆盘表示U的元，圆盘中粘贴上自然数1。U的每一元(圆盘)上都贴一相应自然数，每一自然数都被贴在U的圆盘上——形象说明...就用光一切自然数了。现在若要在U外的圆盘上粘贴自然数1就须将U的①中的1撕下来移到...，同样，...。由此可知U外圆盘上粘贴1后，U中就必总有一圆盘上不能有自然数，虽然贴上自然数的圆盘可排为①，②，③，…。

如[1][2]所述，自然数列（1，2）（3，4）...=N的各奇数与各偶数能一一配对而无一“单身”，而N的各项都由n变为y=n+1后再增添新首项1得：1（2，3）（4，5）…= N′中的1就只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数与偶数不一样多！故N′是似是而非的假自然数集！而且关系式

y=n+1>n=1，2，…（自然数列）

也一目了然地表达y=n+1必可>数列N的一切数n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>N的一切n！由

认识自然数到发现此推翻百年自然数公理的N′竟须历时5千年！

显然相应有各项都可用自然数来标记的可数级数(项1+项2)+(项3+项4)+…，其各项可一一配对而无一“单身”。奇数项为-1偶数项为1的发散可数级数s=（-1+1）+（-1+1）+...=0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”而与某极限是否存在没有任何关系，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响。形成鲜明对比的是s增添新首项1得1+s=1+∑（-1+1）=1就打破了各项可一一配对的格局：其首项1只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数项与偶数项不一样多！从而使其正数项与负数项不可一一抵消为0。这1+s显然是非可数级数！（注！1+∑（-1+1）的各项不可一一配对，故其不可加括号为∑（1-1））。…。

可见，可数无限数列（级数）增奇数个项后就成为非可数无限数列（级数）了。显然相应有

h定理3：其奇数号元与偶数号元不可一一配对的“可数无限集”是似是而非的假可数集。

这就推翻了“定理2 在可数无限集中增加或减少有限个元素，还是可数无限集[3]。”。

{1，2，3，…}=N′

{1，2，3，…}=N

自识自然数5千年来一直无人识破此｛n｝≠彼｛n｝就使人不知百年自然数公理“N的各元n都有对应 n+1

∈N”是一种错觉。从而使康脱…。以上拨开5千年迷

雾地说明“N′=N”是自识自然数多得写不完5千年来一直无人识破的似是而非的假象——使康脱脱离健康误入百年歧途：据N各元n的斜上方都有n+1∈N′而断定…，使人们坚信：谁说推翻了百年自然数公理和集论谁就是想出名想到疯了！

1908年著名数学和物理学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：下一代人将把集论当作一种疾病且人们已经从中恢复过来了。（张锦文等《连续统假设》20页，辽宁教育出版社，1988）。

参考文献

[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，...，n，...}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。

[2]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。

[3]田开璞，现代科学数系论[M]，济南：山东科技出版社，1998.4：10。

[4]黄小宁，50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。

电联:13178840497

E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）


评论

可数无限集A有2个要素：1.A的元素都可以配上自然数号码：元1，元2，...，元n，...。2.必须用完一切自然数。不满足此2要素的无限集是不可数无限集。

33字推翻百年集论
黄小宁
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]仅用33个字符就推翻了百年集论。康脱误入百年歧途缘于中学数学一连串搞错变量的变域的重大错误。
关键词 推翻一系列数学定理；集合论；无穷大自然数；中学重大错误：将部分误为全部；非标准分析；分形几何

一、导言：编序号常识及分形几何显示存在有首、末项的无穷序列
张效先等《无穷级数》（山东教育出版社，1982.9）1页：按自然数编了号的一列数…称为一无穷数列。故相应无穷数列的所有数xn都=数列的第n号（位置上的）数。“如果A是可数无限集，那么…A的元素就可以用自然数来编号，每个自然数恰好用到一次[1]。”为显示先后顺序及元素的多少，不可用非正数来编号。
设有无穷多间一房只住一人的客房住满客，“客房号码可以用自然数一个个的标出来，即用1号，2号，3号，…标出来，所有自然数无一遗漏，…”（欧阳光中《集合和映射》58页）n号房客也编为n号人。现又来了个m号客，因为用正整数n标记各房就无一遗漏地用光一切正整数n了，故m是非0自然数集N以外的序号数>一切正整数，从而有无穷序列1，2，3，…，m-1，m。希尔伯特说让各n<m号人都移至n+1号房，就腾出1号房给m号客了。殊不知有超自然数m>所有自然数n！让m-1号人移至哪号房?
房1，房2，房3，…中的所有自然数组成N。现又建一房m，显然m不∈N！故对于编号，N远远不够用！
关键是以康脱之道纠康脱百年之错：n<m号人配n号房就配光房间了，剩下m（非标准自然数）号人无房可配，充分说明客比房多一个,从而使客与房根本不可一一对应。由此可得第3节的真扩集定理。
本文需常用的常识：凡有首项且各项互不相等的无穷序列L是由各个数或字母等等 “对号入座”地分别“入住”各个空间位置“房间”（如1号位，2号位，…，n号位，…；n=位序数）而形成的，故其必对等于形如{1，2，3，…，n，…}的集Q，记为L～Q。问题是发现并非所有的Q都=N！要注意此Q非彼Q，正如都是x但此x=1≠彼x=2一样。
L～Q=N的所有项的位序数n的全体组成N，在L的1号位的左边增添第n（不可∈N）=m号位项得包含L的新序列L′={m号位项，1号位项，2号位项，…}的首项是两序列的总第m（超自然数）号项，第二项是1号位项，…。显然L′的位序数n的全体组成的Q是N的真扩集N′≠N。
边长为1=1/3n的等边三角形由3条直线段连接而成，其一条边A—B变为相应的折线段就成为分形几何中边长为1/3n（n >“任意给定的正数”M）的无穷多角（边）形：柯赫雪花闭折线的1/3部分：由无穷多等长的无穷短直线段连接而成的折线段AB，其长度（4/3）n>M。由AB的生成元 可知在放大足够大倍的思维显微镜下，所有直线段的所有端点可排为首项为点A，第二项为AB上与点A连接为直线段的点，…，末项为点B的无穷点列。将AB“拉直”就成为可折叠还原为AB的有两端点的无穷长直线段。
有穷集Y的任何两元之间都绝对不能有无穷多个Y
的元——此性质不能硬套和强加在无穷集上，无穷集的
独特性质决定了有首项的无穷数列中必有与首项相隔无
穷多个项的项。
“稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n就是有首、末项的无穷数列[2]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。
狄利克雷：a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值。（李晓奇《先驱者的足迹——高等数学的形成》90页）而a和b之间有无穷多个数。无此正确的感性认识就无高等数学。U=[a, b]也有最小、大元素。变域为U的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，即其取数过程是有完有了、有始有终的。
关键：对人而言U内数多得取之不尽，人不能遍取U内数，但变域为U的变量却能取尽U内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集；人所创立的符合实际的抽象理论中凡变数都能一个不漏地遍取变域的一切数，正如人制造的机器人等能干人所不能干的事一样。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。
以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。
二、分形几何研究者不能不知的事实：数学中，暗含的、用而不知的“骨干”数远远多于已知数
取N内值的n→∞的含义是n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。故N内暗含有“更无理”数n>M。“用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…
说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［3］。”
s1=1+1+1+…中的1与s2=-s1=-1-1-1-…中的1一样多，从而使各1与各-1一一对应.故s=s1+s2=0.参见[4]，在数学中若a不是数而是无意义的符号，就不可有a-a=0——据此最起码科学常识，s中的s1是非标准或无穷大自然数。显然s1+1= s3的各1不可与s2的各-1一一对应，故s3+s2≠0，由此可知s3>s2。…。
所以无穷级数s的部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念。
三、G的真扩集K＝｛a｝∪G必显示K比G多一个元a
如水分子的集合必占宇宙的一定空间一样，任何非空数集必占数宇宙的一定空间。集D所占有的数空间容纳不下比D多元素的集。
无穷集C～D而不～E的原因是C与D分别包含同样多元素而至少比E多或少含一个元素，称D与C等容（两集容量相等）。故有集论常识：两集不等容=不对等。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了个C所没有的数a——不论C是否无穷集。
上述“一房一客”中客与房一样多。据此常识y=2x的定义域：无穷集D～y的值域。同样，无穷集C～C是因C的各元x都只有一个与己相等的对应数y=x且所有对应数组成C。显然若C的各元x≠0都有2个对应数±x，则所有对应数组成的H的容量2倍于C的容量；
…。康脱就断定无理数比自然数多；…。
两无穷集不对等即容量不相等就更谈不上相等。
真扩集定理：任何可有真扩集的非空集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多含一个元素即K的容量必>其一部分G的容量。
证：G～G。给G增添一与G没共同元的非空集H得G的真扩集K＝G∪H就极显然不～G了：K的一部分G的各数x与原G的所有元x一一对应结成数偶（x，x）就将原G的元都给结合光了，K还剩下H的各元都无“配偶”∈原G，表明K至少比G多包含一个元。证毕。
四、33字推翻百年集论
H定理：凡至少有两元的集J都不能～其任一非空部分；故凡～J的集或=J或≠J，都不是J的真子集。
证1：J是其任一非空部分E的真扩集，据真扩集定理，E不可～它的真扩集J。证毕。
证2：J可是其两不相交非空部分的并。设E是J的任一非空部分，J-E=V也非空，则J=E∪V是E的真扩集，与V不相交的E极显然不～J=E∪V：
P＝｛0，1，2｝与T=P∪｛3｝的一部分P对等，表明T的容量>P的容量。同样，J的一部分E的各元已可与原E各元一一配对了，表明J的容量>E的容量——这里33个字符数就推翻了百年集论！关键是据真扩集定理J=E∪V的容量分别>E及V的容量。证毕。
五、{1，2，3，…，n，…}不一定是正整数集N——有无穷大自然数
奇数集A={2n-1}（n=1，2，３，…）
偶数集B={2n}的各元2n的对应数n的全体组成C
C={n}=值域为B的y=2n的定义域=相应的Q
显然无穷集A～B～C=Q。问题是N=A∪B～A吗？N=C吗？据H定理～AÌ N的C≠N。
证明N的容量>C的容量从而≠C：
①一目了然的“一房二客”的“一二对应”：C各元n的头上都有两对应数2n、2n-1且所有对应数组成N说明N的元比C的元多一倍使C只能是N的一半——50个字符推翻了百年集论和自有直线函数概念几百年来一直认定的“y=2n的定义域C=N”、证明了N内有>C的一切n的无穷大正整数n与1相隔无穷多个n，即C有上界∈N；同时证明了A、B各占N的一半。
②参见真扩集定理，N的所有偶数元2n与B～C的各元2n一一配对：2n←→ 2n就将B的元都配光了，还剩下所有奇数元2n-1都无“配偶”2n∈B，说明N的元多于B～C的元即N的容量>C的容量，表明C～B与B一样只是N的一部分！③N的所有偶数元2n与C的各元n一一配对：2n←→ n就将C的元都配光了，还剩下所有奇数元2n-1都无“配偶”n∈C，说明N的元多于C的元从而≠C。④先对B的元都配上序号：2=1号数，4=2号数，…，2n= n号数，…，所有序号数n组成C；然后再对A的元n=1配序号：1=e号数；显然e是C以外的>C的一切n的自然数，故C≠N！⑤由第6节的傻瓜数学,代表N内数的y=2n>n=1,2,3，…（所有数n组成C）明确表示有N内数2n>C的所有数n。
C＝｛1，2，3，…，n，…｝～下面的BÌ N
N＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪A=B∪A中，A有多少（个）元，N就比头上的C～B多多少（个）元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻自识正整数5千多年来一直举世公认的“无正整数n能>C的一切n”的表达式。
故说广大合格中、大学教师无力判断本文的正确与否性就是诬蔑其都是滥竽充数的伪教师了。
可见上面的A、B、C三行数分别都只是N的一半。显然A、B两行数合并为一行数L时，～L的Q才=N＝C∪（N－C）。N－C的各元n显然都是>C的一切n的C外无穷大正整数(相应的1/n是无穷小正数)。
故中学数学断定值域为B的y=2n的定义域C=N是将N的1/2部分误为N从而使康脱脱离健康误入百年歧途的重大错误。不明此真相的教师以讹传讹误人子弟。
各项都有末尾且末尾都是0的数列10,100, 1000,..., 10n,…(极限论断定充分后的项都>“任意给定”的正数M) 具有有穷数列所不具有的特殊性质：由于这是各项均为具体、确定的数10n的无穷数列，故其第n∈N－C（n或是超自然数）项是形如100…00（末尾与1相隔写不完的那么多个0，如1与2之间的实数多得写不完一样。）>M的用而不知的n位无穷大自然数或超自然数。相应的 1，0，0，…，0，0是有首、末项的无穷数列。
以上推翻了一系列的“定理1 可数无限集的无限子集是可数无限集。证明…。定理2 在可数无限集中增加或减少有限个元素，还是可数无限集。…。定理3 …。…。推论…。证明…。定理4 …。…。定理5…[5]”。
可见，数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的“现代数学的基础”百年集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。重大错误不可怕，可怕的是讳疾忌医的不承认、更不纠正错误。
六、起码数学常识凸显有超实数>一切标准实数——中学数学几百年重大错误: 搞错无穷多变量的变域
数轴上的正数与负数一样多。“对于一切（任何）
负数x都有y =x+0.1>x（可取一切负数）”显然表示y必可变至>一切负数——由此可知必有非负数>一切负数。同样“对于一切标准正数x都有数y=2x>x>0”明确表示y必可>一切标准正数——由此可知y必可取非标准正数>一切标准正数。
可见如[6]所述，自有直线函数概念几百年来一直
公认的中学的“对于一切标准正数x都有标准正数
y =2x（或x+1等）>x（其变域D由一切标准正数组成）”是重大病句：有标准正数y>一切标准正数x。若限制y与x都只能取标准正数，则D（包含一切相应的形如x<标准正数2x的标准正数x）不可包含一切标准正数而在D外必还有“更无理”标准正数x——其对应数2x（或x+1等）>x不可是标准数而只能是非标准数。
同理，若对于N的一切n都有偶数2n>n，则并非所有的2n都∈N而必有部分2n是超自然数>N的一切n。所以定义域为N的y=2n>n的值域Z～N不是N的真子集，中学数学误以为NÉZ是搞错y的变域的重大错误。
搞错变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。使康
脱…。“定或变数y>任何正数x（x可取任何正数）”都表示有正数y>任何正数——重大病句！
关键是应有中学起码数学常识S：变数y >(<)x中
的y必可>(<)x的变域D的一切数。因为有傻瓜相机也有傻瓜数学：y>(<)x中的x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y必可一个不漏地遍比D的一切数x都大(小)而代表D外的数。所以傻瓜数学揭示中学数学断定取N内值的f（n）=kn>n=1,2,3，…的定义域Q=N是搞错了n的变域Q。仿以上证明N≠C易证N≠Q。
要害是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识，对式中各字母的含义不能只有一知半解。y>x表示对于x的变域X的一切数x都有y >x，以及对于y的变域Y的一切数y都有x<y 。
故初3数学断定y（x）=kx（或x+1等）>x>0的定义域D含所有正数，x可取一切正数，就是断定代表正数的y可>一切正数——重大病句！…！
空间位置是固定不变的。书上x轴的所有正数点x全都离开原来位置地沿轴正向向右移动至新的位置x′=2x>x处形成以x′为元的新点集Z，显然就至少空出一正数位置x落在一切前移了的正数点的后面，这非常形象直观地表明Z的点x′不能布满x轴的正半轴！即R+中必有Z外的正数x<Z～R+的一切元x′。数形结合使人发现有理点不能布满…，也使人发现Z的点x′不能布满…。R+的各元x都有对应直线段，故R+可看成是直线段集，其直线段全都变长形成新集Z，显然至少有一直线段∈R+短于Z的一切直线段。
所以中学数学断定定义域为R+的x′=2x>x>0的变域Z=R+是严重歪曲了事物的本来面目的搞错了变域的重大根本错误。[7]论证了y>（<）x中两变量的变域必不相等！所以定义域为R+的g（x）=kx>x>0（或=x/k<x）的值域～R+必≠R+！仅由k>1可取无穷多个数就知课本有无穷多搞错了变域的错误。
总之，一数集各元全都变大后形成的集不能还是原集了。否则何来“全都变大”？这是起码逻辑学常识。
D=（1，2）的各元x均由x变换为2x组成以2x为元的新无穷集不能包含D。同样，包含数学的一切小正数x<<1的（0，b）=V的各元x均扩大为1000x=y组成以y为元的新正数集U显然不能与V一样包含一切<b的小正数了，从而必有充分小正数x<V的一切元y>>x>0（相应的表达式也直接表达x>0可<< V的一切元y）。道理简单到稍有一点头脑的人都能明白：一切小正数一个不漏地全都变大千倍组成的集再也不能一个不漏地包含一切小正数了，否则何来“一个不漏地全都由小变大”？故中学数学断定～V 的U=（0，1000b），是不合逻辑的重大错误。使康脱…。
正确的逻辑推理能推断有海王星，同样也能推断有用而不知的正数<（>）一切已知正数。
同样“对于任何一个实数x都有对应实数y =x+1>x” ——中学“常识”也是重大病句：有实数y>任何（所有）实数x。应将“对应实数y”改为“对应数y”（y可是超实数）。建立在重大病句之上的理论必是自相矛盾的病上加病的病态理论。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论
当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。” （张
锦文等《连续统假设》，辽宁教育出版社，1988：20）。
不少中外书本说变域为N的n→∞“能够取到和超
过任何正整数”（谷超豪《谈谈数学中的无限》9页，上海教育出版社，1988.8），其实应为“超过任何有限正整数n”，否则就是病句！因为如由小变大的x<0不能超过一切负数一样，正整变数n是不能超过任何（所有）正整数的。第5节证明了有无穷大正整数n。丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学…。
七、n定理：若上述Q的各元n<n+1则Q必有最大元q
证1（参见[4]）：定义域为Q的代表数的y=n+1> n = 1，2，3，…表示对于式中数列的各数n即对于Q的一切元n都有对应数y=n+1> n，据起码数学常识S，这一目了然地直接表达有数y>数列的一切数n，即y必可代表Q外的数n+1>Q的一切数，因各n都∈Q，故Q外的n+1中的n显然就是Q的最大数q——其后继n+1不∈Q。关键是否定常识S者，暴露出其是数盲（学数学最关键的是须明白代数式所代表的全部内容，否则就是鹦鹉学舌，从而成为数学王国里的睁眼瞎。）证毕。
证2 ：太浅显编序号常识也证实此太惊人真相：先对Q的一切非1数都配上序号：2=1号数，3=2号数，…，n+1= n（=1，2，…）号数，…，然后再对1配上序号：1=t号数。显然有～Q的无穷序列1号，2号，3号，…，t-1号，t号 。t显然是Q的最大数q。证毕。
注！数学常识S表明 “Q的任何元n< n+1∈Q”是病句：Q有数n+1>Q的任何元n。
据n定理上述的C有最大元。获中国教育学会一等奖的[7]论证了N有最大元n使比n大的n+1等不∈ N！
八、结束语
不及时纠正育人教材一系列搞错变域的重大错误而继续误人子弟，危害极其重大！
“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！让世人继续陶醉在错误的“乐园”内不是真正尊重与爱护数学家，恰恰相反，…。
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）“数学特殊”论：数学的“命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它一切科学的命题…，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”（爱因斯坦文集（一），商务印书馆，1976：136）被颠覆，昭示数学革命的爆发。
参考文献
[1]田开璞 现代科学数系论[M]，济南：山东科技出版社，
1998.4：10。
[2]黄小宁 再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话[J]，科技信息，2008（1）：29。
[3]黄小宁 在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实
际的全新数学必取代几千年井底蛙数学[J]，科技信息， 2008（2）:46.
[4]黄小宁 50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数
n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
[5]同[1]书，11-13页。
[6]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创
立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[7]黄小宁 50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息，2007（36）:31.
[8]黄小宁　“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[9]黄小宁　教科书上对变量变域的判定有隐瞒不了的极重大错误，见：中国学校教育研究•数学卷［C］，北京：中国统计出版社，2001.12：97。
[10]黄小宁y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）（专辑）：42.
电联:13178840497

33字推翻百年集论
黄小宁E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]仅用33个字符就推翻了百年集论。康脱误入百年歧途缘于中学数学一连串搞错变量的变域的重大错误。
关键词 推翻一系列数学定理；集合论；无穷大自然数；中学重大错误：将部分误为全部；非标准分析；分形几何

一、导言：编序号常识及分形几何显示存在有首、末项的无穷序列
张效先等《无穷级数》（山东教育出版社，1982.9）1页：按自然数编了号的一列数…称为一无穷数列。故相应无穷数列的所有数xn都=数列的第n号（位置上的）数。“如果A是可数无限集，那么…A的元素就可以用自然数来编号，每个自然数恰好用到一次[1]。”为显示先后顺序及元素的多少，不可用非正数来编号。
设有无穷多间一房只住一人的客房住满客，“客房号码可以用自然数一个个的标出来，即用1号，2号，3号，…标出来，所有自然数无一遗漏，…”（欧阳光中《集合和映射》58页）n号房客也编为n号人。现又来了个m号客，因为用正整数n标记各房就无一遗漏地用光一切正整数n了，故m是非0自然数集N以外的序号数>一切正整数，从而有无穷序列1，2，3，…，m-1，m。希尔伯特说让各n<m号人都移至n+1号房，就腾出1号房给m号客了。殊不知有超自然数m>所有自然数n！让m-1号人移至哪号房?
房1，房2，房3，…中的所有自然数组成N。现又建一房m，显然m不∈N！故对于编号，N远远不够用！
关键是以康脱之道纠康脱百年之错：n<m号人配n号房就配光房间了，剩下m（非标准自然数）号人无房可配，充分说明客比房多一个,从而使客与房根本不可一一对应。由此可得第3节的真扩集定理。
本文需常用的常识：凡有首项且各项互不相等的无穷序列L是由各个数或字母等等 “对号入座”地分别“入住”各个空间位置“房间”（如1号位，2号位，…，n号位，…；n=位序数）而形成的，故其必对等于形如{1，2，3，…，n，…}的集Q，记为L～Q。问题是发现并非所有的Q都=N！要注意此Q非彼Q，正如都是x但此x=1≠彼x=2一样。
L～Q=N的所有项的位序数n的全体组成N，在L的1号位的左边增添第n（不可∈N）=m号位项得包含L的新序列L′={m号位项，1号位项，2号位项，…}的首项是两序列的总第m（超自然数）号项，第二项是1号位项，…。显然L′的位序数n的全体组成的Q是N的真扩集N′≠N。
边长为1=1/3n的等边三角形由3条直线段连接而成，其一条边A—B变为相应的折线段就成为分形几何中边长为1/3n（n >“任意给定的正数”M）的无穷多角（边）形：柯赫雪花闭折线的1/3部分：由无穷多等长的无穷短直线段连接而成的折线段AB，其长度（4/3）n>M。由AB的生成元 可知在放大足够大倍的思维显微镜下，所有直线段的所有端点可排为首项为点A，第二项为AB上与点A连接为直线段的点，…，末项为点B的无穷点列。将AB“拉直”就成为可折叠还原为AB的有两端点的无穷长直线段。
有穷集Y的任何两元之间都绝对不能有无穷多个Y
的元——此性质不能硬套和强加在无穷集上，无穷集的
独特性质决定了有首项的无穷数列中必有与首项相隔无
穷多个项的项。
“稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n就是有首、末项的无穷数列[2]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。
狄利克雷：a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值。（李晓奇《先驱者的足迹——高等数学的形成》90页）而a和b之间有无穷多个数。无此正确的感性认识就无高等数学。U=[a, b]也有最小、大元素。变域为U的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，即其取数过程是有完有了、有始有终的。
关键：对人而言U内数多得取之不尽，人不能遍取U内数，但变域为U的变量却能取尽U内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集；人所创立的符合实际的抽象理论中凡变数都能一个不漏地遍取变域的一切数，正如人制造的机器人等能干人所不能干的事一样。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。
以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。
二、分形几何研究者不能不知的事实：数学中，暗含的、用而不知的“骨干”数远远多于已知数
取N内值的n→∞的含义是n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。故N内暗含有“更无理”数n>M。“用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…
说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［3］。”
s1=1+1+1+…中的1与s2=-s1=-1-1-1-…中的1一样多，从而使各1与各-1一一对应.故s=s1+s2=0.参见[4]，在数学中若a不是数而是无意义的符号，就不可有a-a=0——据此最起码科学常识，s中的s1是非标准或无穷大自然数。显然s1+1= s3的各1不可与s2的各-1一一对应，故s3+s2≠0，由此可知s3>s2。…。
所以无穷级数s的部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念。
三、G的真扩集K＝｛a｝∪G必显示K比G多一个元a
如水分子的集合必占宇宙的一定空间一样，任何非空数集必占数宇宙的一定空间。集D所占有的数空间容纳不下比D多元素的集。
无穷集C～D而不～E的原因是C与D分别包含同样多元素而至少比E多或少含一个元素，称D与C等容（两集容量相等）。故有集论常识：两集不等容=不对等。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了个C所没有的数a——不论C是否无穷集。
上述“一房一客”中客与房一样多。据此常识y=2x的定义域：无穷集D～y的值域。同样，无穷集C～C是因C的各元x都只有一个与己相等的对应数y=x且所有对应数组成C。显然若C的各元x≠0都有2个对应数±x，则所有对应数组成的H的容量2倍于C的容量；
…。康脱就断定无理数比自然数多；…。
两无穷集不对等即容量不相等就更谈不上相等。
真扩集定理：任何可有真扩集的非空集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多含一个元素即K的容量必>其一部分G的容量。
证：G～G。给G增添一与G没共同元的非空集H得G的真扩集K＝G∪H就极显然不～G了：K的一部分G的各数x与原G的所有元x一一对应结成数偶（x，x）就将原G的元都给结合光了，K还剩下H的各元都无“配偶”∈原G，表明K至少比G多包含一个元。证毕。
四、33字推翻百年集论
H定理：凡至少有两元的集J都不能～其任一非空部分；故凡～J的集或=J或≠J，都不是J的真子集。
证1：J是其任一非空部分E的真扩集，据真扩集定理，E不可～它的真扩集J。证毕。
证2：J可是其两不相交非空部分的并。设E是J的任一非空部分，J-E=V也非空，则J=E∪V是E的真扩集，与V不相交的E极显然不～J=E∪V：
P＝｛0，1，2｝与T=P∪｛3｝的一部分P对等，表明T的容量>P的容量。同样，J的一部分E的各元已可与原E各元一一配对了，表明J的容量>E的容量——这里33个字符数就推翻了百年集论！关键是据真扩集定理J=E∪V的容量分别>E及V的容量。证毕。
五、{1，2，3，…，n，…}不一定是正整数集N——有无穷大自然数
奇数集A={2n-1}（n=1，2，３，…）
偶数集B={2n}的各元2n的对应数n的全体组成C
C={n}=值域为B的y=2n的定义域=相应的Q
显然无穷集A～B～C=Q。问题是N=A∪B～A吗？N=C吗？据H定理～AÌ N的C≠N。
证明N的容量>C的容量从而≠C：
①一目了然的“一房二客”的“一二对应”：C各元n的头上都有两对应数2n、2n-1且所有对应数组成N说明N的元比C的元多一倍使C只能是N的一半——50个字符推翻了百年集论和自有直线函数概念几百年来一直认定的“y=2n的定义域C=N”、证明了N内有>C的一切n的无穷大正整数n与1相隔无穷多个n，即C有上界∈N；同时证明了A、B各占N的一半。
②参见真扩集定理，N的所有偶数元2n与B～C的各元2n一一配对：2n←→ 2n就将B的元都配光了，还剩下所有奇数元2n-1都无“配偶”2n∈B，说明N的元多于B～C的元即N的容量>C的容量，表明C～B与B一样只是N的一部分！③N的所有偶数元2n与C的各元n一一配对：2n←→ n就将C的元都配光了，还剩下所有奇数元2n-1都无“配偶”n∈C，说明N的元多于C的元从而≠C。④先对B的元都配上序号：2=1号数，4=2号数，…，2n= n号数，…，所有序号数n组成C；然后再对A的元n=1配序号：1=e号数；显然e是C以外的>C的一切n的自然数，故C≠N！⑤由第6节的傻瓜数学,代表N内数的y=2n>n=1,2,3，…（所有数n组成C）明确表示有N内数2n>C的所有数n。
C＝｛1，2，3，…，n，…｝～下面的BÌ N
N＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪A=B∪A中，A有多少（个）元，N就比头上的C～B多多少（个）元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻自识正整数5千多年来一直举世公认的“无正整数n能>C的一切n”的表达式。
故说广大合格中、大学教师无力判断本文的正确与否性就是诬蔑其都是滥竽充数的伪教师了。
可见上面的A、B、C三行数分别都只是N的一半。显然A、B两行数合并为一行数L时，～L的Q才=N＝C∪（N－C）。N－C的各元n显然都是>C的一切n的C外无穷大正整数(相应的1/n是无穷小正数)。
故中学数学断定值域为B的y=2n的定义域C=N是将N的1/2部分误为N从而使康脱脱离健康误入百年歧途的重大错误。不明此真相的教师以讹传讹误人子弟。
各项都有末尾且末尾都是0的数列10,100, 1000,..., 10n,…(极限论断定充分后的项都>“任意给定”的正数M) 具有有穷数列所不具有的特殊性质：由于这是各项均为具体、确定的数10n的无穷数列，故其第n∈N－C（n或是超自然数）项是形如100…00（末尾与1相隔写不完的那么多个0，如1与2之间的实数多得写不完一样。）>M的用而不知的n位无穷大自然数或超自然数。相应的 1，0，0，…，0，0是有首、末项的无穷数列。
以上推翻了一系列的“定理1 可数无限集的无限子集是可数无限集。证明…。定理2 在可数无限集中增加或减少有限个元素，还是可数无限集。…。定理3 …。…。推论…。证明…。定理4 …。…。定理5…[5]”。
可见，数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的“现代数学的基础”百年集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。重大错误不可怕，可怕的是讳疾忌医的不承认、更不纠正错误。
六、起码数学常识凸显有超实数>一切标准实数——中学数学几百年重大错误: 搞错无穷多变量的变域
数轴上的正数与负数一样多。“对于一切（任何）
负数x都有y =x+0.1>x（可取一切负数）”显然表示y必可变至>一切负数——由此可知必有非负数>一切负数。同样“对于一切标准正数x都有数y=2x>x>0”明确表示y必可>一切标准正数——由此可知y必可取非标准正数>一切标准正数。
可见如[6]所述，自有直线函数概念几百年来一直
公认的中学的“对于一切标准正数x都有标准正数
y =2x（或x+1等）>x（其变域D由一切标准正数组成）”是重大病句：有标准正数y>一切标准正数x。若限制y与x都只能取标准正数，则D（包含一切相应的形如x<标准正数2x的标准正数x）不可包含一切标准正数而在D外必还有“更无理”标准正数x——其对应数2x（或x+1等）>x不可是标准数而只能是非标准数。
同理，若对于N的一切n都有偶数2n>n，则并非所有的2n都∈N而必有部分2n是超自然数>N的一切n。所以定义域为N的y=2n>n的值域Z～N不是N的真子集，中学数学误以为NÉZ是搞错y的变域的重大错误。
搞错变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。使康
脱…。“定或变数y>任何正数x（x可取任何正数）”都表示有正数y>任何正数——重大病句！
关键是应有中学起码数学常识S：变数y >(<)x中
的y必可>(<)x的变域D的一切数。因为有傻瓜相机也有傻瓜数学：y>(<)x中的x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y必可一个不漏地遍比D的一切数x都大(小)而代表D外的数。所以傻瓜数学揭示中学数学断定取N内值的f（n）=kn>n=1,2,3，…的定义域Q=N是搞错了n的变域Q。仿以上证明N≠C易证N≠Q。
要害是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识，对式中各字母的含义不能只有一知半解。y>x表示对于x的变域X的一切数x都有y >x，以及对于y的变域Y的一切数y都有x<y 。
故初3数学断定y（x）=kx（或x+1等）>x>0的定义域D含所有正数，x可取一切正数，就是断定代表正数的y可>一切正数——重大病句！…！
空间位置是固定不变的。书上x轴的所有正数点x全都离开原来位置地沿轴正向向右移动至新的位置x′=2x>x处形成以x′为元的新点集Z，显然就至少空出一正数位置x落在一切前移了的正数点的后面，这非常形象直观地表明Z的点x′不能布满x轴的正半轴！即R+中必有Z外的正数x<Z～R+的一切元x′。数形结合使人发现有理点不能布满…，也使人发现Z的点x′不能布满…。R+的各元x都有对应直线段，故R+可看成是直线段集，其直线段全都变长形成新集Z，显然至少有一直线段∈R+短于Z的一切直线段。
所以中学数学断定定义域为R+的x′=2x>x>0的变域Z=R+是严重歪曲了事物的本来面目的搞错了变域的重大根本错误。[7]论证了y>（<）x中两变量的变域必不相等！所以定义域为R+的g（x）=kx>x>0（或=x/k<x）的值域～R+必≠R+！仅由k>1可取无穷多个数就知课本有无穷多搞错了变域的错误。
总之，一数集各元全都变大后形成的集不能还是原集了。否则何来“全都变大”？这是起码逻辑学常识。
D=（1，2）的各元x均由x变换为2x组成以2x为元的新无穷集不能包含D。同样，包含数学的一切小正数x<<1的（0，b）=V的各元x均扩大为1000x=y组成以y为元的新正数集U显然不能与V一样包含一切<b的小正数了，从而必有充分小正数x<V的一切元y>>x>0（相应的表达式也直接表达x>0可<< V的一切元y）。道理简单到稍有一点头脑的人都能明白：一切小正数一个不漏地全都变大千倍组成的集再也不能一个不漏地包含一切小正数了，否则何来“一个不漏地全都由小变大”？故中学数学断定～V 的U=（0，1000b），是不合逻辑的重大错误。使康脱…。
正确的逻辑推理能推断有海王星，同样也能推断有用而不知的正数<（>）一切已知正数。
同样“对于任何一个实数x都有对应实数y =x+1>x” ——中学“常识”也是重大病句：有实数y>任何（所有）实数x。应将“对应实数y”改为“对应数y”（y可是超实数）。建立在重大病句之上的理论必是自相矛盾的病上加病的病态理论。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论
当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。” （张
锦文等《连续统假设》，辽宁教育出版社，1988：20）。
不少中外书本说变域为N的n→∞“能够取到和超
过任何正整数”（谷超豪《谈谈数学中的无限》9页，上海教育出版社，1988.8），其实应为“超过任何有限正整数n”，否则就是病句！因为如由小变大的x<0不能超过一切负数一样，正整变数n是不能超过任何（所有）正整数的。第5节证明了有无穷大正整数n。丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学…。
七、n定理：若上述Q的各元n<n+1则Q必有最大元q
证1（参见[4]）：定义域为Q的代表数的y=n+1> n = 1，2，3，…表示对于式中数列的各数n即对于Q的一切元n都有对应数y=n+1> n，据起码数学常识S，这一目了然地直接表达有数y>数列的一切数n，即y必可代表Q外的数n+1>Q的一切数，因各n都∈Q，故Q外的n+1中的n显然就是Q的最大数q——其后继n+1不∈Q。关键是否定常识S者，暴露出其是数盲（学数学最关键的是须明白代数式所代表的全部内容，否则就是鹦鹉学舌，从而成为数学王国里的睁眼瞎。）证毕。
证2 ：太浅显编序号常识也证实此太惊人真相：先对Q的一切非1数都配上序号：2=1号数，3=2号数，…，n+1= n（=1，2，…）号数，…，然后再对1配上序号：1=t号数。显然有～Q的无穷序列1号，2号，3号，…，t-1号，t号 。t显然是Q的最大数q。证毕。
注！数学常识S表明 “Q的任何元n< n+1∈Q”是病句：Q有数n+1>Q的任何元n。
据n定理上述的C有最大元。获中国教育学会一等奖的[7]论证了N有最大元n使比n大的n+1等不∈ N！
八、结束语
不及时纠正育人教材一系列搞错变域的重大错误而继续误人子弟，危害极其重大！
“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！让世人继续陶醉在错误的“乐园”内不是真正尊重与爱护数学家，恰恰相反，…。
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）“数学特殊”论：数学的“命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它一切科学的命题…，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”（爱因斯坦文集（一），商务印书馆，1976：136）被颠覆，昭示数学革命的爆发。
参考文献
[1]田开璞 现代科学数系论[M]，济南：山东科技出版社，
1998.4：10。
[2]黄小宁 再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话[J]，科技信息，2008（1）：29。
[3]黄小宁 在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实
际的全新数学必取代几千年井底蛙数学[J]，科技信息， 2008（2）:46.
[4]黄小宁 50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数
n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
[5]同[1]书，11-13页。
[6]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创
立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[7]黄小宁 50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息，2007（36）:31.
[8]黄小宁　“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[9]黄小宁　教科书上对变量变域的判定有隐瞒不了的极重大错误，见：中国学校教育研究•数学卷［C］，北京：中国统计出版社，2001.12：97。
[10]黄小宁y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）（专辑）：42.
电联:13178840497

极浅显编序号常识暴露极重大错误：无最大自然数
黄小宁（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
凡有首项且各项互不相等的无穷序列L是由各个数或字母等等 “对号入座”地分别“入住”各个空间位置“房间”（如1号位，2号位，…，n号位，…；n=位序数或项数。)而形成的，有多少个位置就有多少个位序号，故其从左到右的各个项必与相应的形如{1，2，3，…，n，…}的集Q内从小到大的各个数n一一对应，记为L～Q。问题是并非所有的Q都=正整数集N+！
设有无穷多个房间，各房间号码“可以用自然数一个个的标出来，即用1号，2号，3号，…标出来，所有自然数一个不漏，…”（欧阳光中《集合和映射》58页）。
张效先等《无穷级数》（山东教育出版社，1982.9）1页：按…编了号的一列数…称为一无穷数列。
“将编上号的数字（实数或复数）按着编号从小到大的顺序排列起来就构成了一个数列，...表示成a1，a2，a3，...，an，…”（萧树铁等《微积分（下）》127页，清华大学出版社，2007.1。）
可见，凡有首项的无穷数列L的各项都能配上序号。L的所有数xn都=数列的第n号（位置上的）数。
将自然数集N的各个数n-1（n =1，2，３，…）都配上序号，显然N有多少个数，相应就有多少个序号。
先对除0以外的一切自然数都配上序号：N+=｛1=1号数，2=2号数，…，n= n号数，…｝（n =1，2，３，…）（设1号是最小序号）～Q，然后再对0配上序号：0=m号数，m号显然>之前的所有序号：1号，2号，…，n号，…——此处的m显然是N以外的>所有自然数的超自然数。因为N+的各元n都配上序号n号后，N中就只有一个元素0没有配上序号，故与0相配的序号数m必紧接在之前的所有序号1号，2号，…，n号，…的一切n的后面而绝对不可∈N！于是在m与任何正整数之间都没有N 以外的数，所以m-1是与1相隔无穷多个n的最大自然数。
可见与相应的序列m号，1号，2号，3号，…对等的Q={1，2，3，…，n，…}内必有一n=m不∈N+而使Q≠N+！对序号从小到大及按对N的各个数n-1配序号的先后顺序进行排列显然有无穷序列：1号，2号，3号，…，m号。
可见极浅显编序号常识暴露出“有首项的无穷数列必无末项”是重大错误，推翻了五千年科学“常识”：无最大自然数。
N+=｛1，2，…，n，…｝（n =1，2，３，…）的最小元n=1有两个对应数：n=1 和n -1=0，其余各元n（n =2，３，…）都有1个对应数n，所有对应数：（1，0），2，3，…组成的集是N=｛0，1，2，3，…，n-1，…｝说明N的元比N+的元多一个（请特别注意在对应关系中 N+的最小元有两个对应数∈N）。由此可见N～N+根本不能成立！
可见断定N～Q={1，2，3，…，n，…}中的Q= N+是被表面假象所迷惑的重大错误。
详论见获中国教育学会一等奖的文献[1]。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。
无穷数集的各元都是具体、确定的数。两数之间有无穷多个数是常见的，例如1与2之间的实数就多得写不完。有穷集Y的任何两元之间都绝对不能有无穷多个Y的元——此性质不能硬套和强加在无穷集上，在任何无穷同号数集W内必有一元与另一元相隔无穷多个W的元——此独特性质决定了有首项的无穷数列中必有与首项相隔无穷多个项的项。
“稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[2]。”
狄利克雷：a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值。（李晓奇《先驱者的足迹——高等数学的形成》90页）而a和b之间有无穷多个数。无此正确的感性认识就无高等数学。无穷集[a, b]也有最小、大元。
参考文献
[1]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。
[3]黄小宁，50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信
息（学术版）[J]，2008（21）：46。
[4]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[5]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[6]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷
[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
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